La Generalización Teórica como Proceso Fundamental del Pensamiento

Ramón Blanco Sánchez - ramon.blanco[arroba]reduc.edu.cu

1. Resumen
2. Introducción
3. Desarrollo
4. Conclusiones
5. Bibliografía
RESUMEN
En nuestro trabajo analizamos y fundamentamos teóricamente una de las direcciones en las que debe ser orientada la actividad cognoscitiva del estudiante, nos referimos al pensamiento teórico del alumno, necesidad de cuyo desarrollo se encuentra avalada, entre otros por V.V. Davidov y S.L. Rubinstein.
En el trabajo no se aborda el problema en toda su magnitud, se enfoca sólo desde la generalización, por ser esta una habilidad que influye fuertemente en el desarrollo del pensamiento teórico, tal como lo avala la teoría al respecto.
Mostramos como se puede lograr que el estudiante amplíe sus posibilidades de generalización, si tenemos en cuenta los diferentes niveles en que esta se produce.
SUMMARY
In this paper is analyzed and theoretically based, one of the addresses in which the student's cognitive activity should be guided, we refer to the student's theoretical thought, necessity of whose development is endorsed, among others for V.V. Davidov and S.L. Rubinstein.
In the work the problem is not approached in all its magnitude, it is only focused from the generalization, because this is an ability that influences strongly in the development of the theoretical thought, just as is endorsed by the theory in this respect.
We show how it is possible to achieve that the student enlarge his generalization possibilities, by using the different levels in which it takes place.
INTRODUCCIÓN
Cuando en el presente trabajo nos referimos al pensamiento teórico, nos referimos al pensamiento que se realiza a nivel conceptual, pero en términos del concepto científico de los objetos que se analizan y no en concepto imagen o seudo concepto, aunque no negamos que en determinados estados de desarrollo del conocimiento el pensamiento se base en estos últimos. Pero como fin de la enseñanza se debe procurar la formación de un graduado cuyo pensamiento se ejecuta en términos de conceptos científicos.
Dado que el pensamiento teórico depende de la generalización teórica, el objetivo que se persigue es desarrollar un estudio de esta generalización, de modo que sea posible orientar al estudiante en su actividad cognoscitiva de modo que logre un entrenamiento en este tipo de generalización.
En el trabajo se logran diferenciar efectivamente, cinco niveles en los que se produce la generalización, los que se caracterizan, bien por el grado de profundidad, en que se produce la generalización o bien por características intrínsecas de este proceso y posteriormente se explica como propiciar la realización de la generalización en sus diferentes niveles, a través de una adecuada dirección de la actividad cognoscitiva del estudiante.
El análisis realizado en el trabajo permite concluir, que no debemos esperar que el estudiante logre un profundo pensamiento teórico como un resultado inherente a su actividad docente; sino que es menester enfocar el asunto con un especial cuidado, para lo que es de gran ayuda orientar al estudiante en correspondencia con los niveles planteados.


DESARROLLO:
Consideraciones sobre la actividad cognoscitiva de los estudiantes:
En la actualidad es punto de coincidencia de las diferentes teorías pedagógicas modernas, la necesidad de la actividad cognoscitiva del estudiante; esta verdad que hoy nos guía en la difícil tarea de formar profesionales capaces de mantenerse a la par del rápido desarrollo científico técnico que hoy nos acompaña, fue enarbolada desde hace mucho por hombres que dedicaron sus esfuerzos a la formación de las nuevas generaciones, desde Amos Comenio (1592 -1670) cuando planteaba: "Sabiamente afirmó Salomón que no se sacia el ojo viendo ni el oído se llena oyendo." Comenio J. A. (1983), idea continuada entre otros por J.H.Pestalozzi (1746 - 1827) defensor del criterio de que en la actividad intelectual se desarrolla la razón.
También E.J. Varona defendió esta idea pues en su planteamiento: "Las aulas universitarias deben ser talleres donde se trabaje y no teatros donde se declame." Así lo expresa, y ya en nuestros días como planteamos antes, es un criterio defendido por todos los entendidos en la materia, y que se resume en diferentes afirmaciones de forma concreta, por ejemplo: "La verdadera asimilación de conocimientos exige un proceso activo de relación, diferenciación y reconciliación integradora con los conceptos que ya existen, y cuanto más activo sea este proceso tanto más significativos y útiles serán los conceptos asimilados." Ausubel citado en Mata Guevara (1993). Así como N.F. Talizina (1998) nos dice: "Si el alumno no hace nada cualquier cosa que haga el profesor será inútil.", por citar sólo dos representantes notables de escuelas diferentes.
Por lo tanto es nuestra tarea, lograr que el estudiante desarrolle una intensa actividad cognoscitiva, pero esto no es todo, también debemos dirigir su modo de actuación de modo que esta actividad le resulte lo más productiva posible, y es en esta dirección precisamente en la que se encamina el presente trabajo.
De la misma forma que si un atleta no hace los ejercicios físicos adecuados no mejorará sus marcas, un estudiante no desarrollará todas sus posibilidades cognoscitivas, si esta actividad no se realiza adecuadamente. En otras palabras, sólo a través de una actividad cognoscitiva correctamente orientada es posible que el estudiante logre la meta que el desarrollo del conocimiento continuo y acelerado impone a la institución docente, esto es, que el estudiante aprenda a aprender.
Consideraciones sobre la generalización como proceso del pensamiento lógico:
Como es conocido por todos los profesores de Matemática, el proceso enseñanza aprendizaje de esta ciencia resulta complejo y en muchos casos no se alcanza el éxito esperado. Uno de los aspectos que dificulta el citado proceso es el hecho de que en la Matemática, los objetos con los que se trabaja sólo se materializan de manera simbólica, aunque para los estudiantes, algunos de los objetos matemáticos, como son los geométricos, tienen una existencia física, triángulos, rectángulos, cuadrados, etc., ya que ellos, los alumnos, identifican los representantes de estos objetos con el objeto en sí y tardan en comprender que ninguna representación de un triángulo es equivalente al concepto que identifica este ente geométrico; por otra parte objetos matemáticos como polinomios y funciones, entre otros, no son considerados por muchos estudiantes como objetos propiamente dichos, ya que no existe una semiótica icónica para su representación.
Esto es, los objetos matemáticos son puramente conceptuales, tienen un carácter abstracto y se refieren, generalmente, a realidades teóricas; a grosso modo podemos decir que estos entes matemáticos conceptuales son el resultado de abstraer las propiedades comunes de determinados objetos o identificar sus regularidades.
Según Liu Paredes G. J. (2006). estas propiedades o regularidades son consideradas como criterios para la agrupación de quienes la poseen en una clase, esta se constituye a partir de definir las características esenciales que permiten identificar si un elemento dado pertenece o no a dicha clase, la cual se constituye en sí misma en un objeto matemático, las regularidades que caracterizan a sus componentes permite dar una respuesta común a todos ellos, reaccionando ante la clase y no ante cada uno de sus miembros en particular; luego, las cualidades comunes que han sido abstraídas a partir de un determinado conjunto de objetos o situaciones específicas permiten responder similarmente a una clase entera de objetos o situaciones relacionadas a través de una generalización consistente con la identificación de la propia clase.
Podemos inferir del párrafo anterior que el pensamiento matemático, es un pensamiento conceptual, o en otras palabras un pensamiento teórico, por lo que en la actividad cognoscitiva es imprescindible el desarrollo de este tipo de pensamiento, por esta razón V.V. Davidov (1985) plantea que para la solución de los problemas cardinales de la enseñanza contemporánea es necesario formar el pensamiento teórico científico, no el discursivo empírico; el estudio de este problema presupone el empleo omnilateral de la psicología, la didáctica, la teoría del conocimiento (epistemología) y el papel que en la misma desempeña la actividad objetiva del hombre.
Podemos encontrar en los trabajos de Dörfler, W. (1991), un rango de coincidencia notable con los trabajos de Davidov, en lo que a clasificación de la generalización respecta, ya que este autor también establece la diferencia entre generalización empírica y teórica y las explica y compara de la misma forma. En el presente trabajo se parte de esta diferenciación entre la generalización teórica y la empírica se aprecia la necesidad de desarrollar en los estudiantes la generalización teórica, por lo cual se analiza como orientar la actividad del estudiante para que logre el desarrollo de este tipo de generalización.
Se puede apreciar de lo anteriormente planteado, que un papel fundamental en el desarrollo del pensamiento teórico científico corresponde a la generalización, pero, como planteamos en el párrafo anterior, no nos referimos aquí a la generalización empírica que opera como resultado de comparar los rasgos comunes en los que coinciden los fenómenos, o a la generalización espontánea, como plantea Panizza M. (2006), sino aquella que se realiza sobre los rasgos esenciales y los nexos internos de los fenómenos que se estudian, o sea que aquí se tiene una dirección precisa hacia donde orientar la actividad del estudiante, pues se hace imprescindible que el estudiante generalice y que lo haga correctamente sobre los rasgos esenciales y los nexos internos de los fenómenos que se estudian; al respecto S.L. Rubinstein expresa: "La facilidad y rapidez de la abstracción y la generalización de los rasgos sustanciales de las situaciones que se analizan constituyen los rasgos característicos del pensamiento teórico, el cual garantiza un conocimiento más profundo de la realidad circundante." Rubinstein S. L. (1959). Siguiendo estas mismas consideraciones V.A. Krutetzki probó que existe una relación entre el nivel de generalización y la capacidad del estudiante. Estableció con sus trabajos que los alumnos aptos para la Matemática generalizaban validamente la solución sobre la base de uno o varios problemas, mientras que a los escolares más débiles les es propia una generalización de carácter por entero distinta.
Por ejemplo: el estudiante que solo es capaz de hacer generalizaciones sobre los aspectos comunes y aparentes de los objetos, ve los siguientes problemas: y como situaciones diferentes, porque no es capaz de apreciar las características esenciales que los identifican como un mismo tipo de problema, ya que juzgan el problema planteado sólo por las funciones involucradas. De la misma manera aquellos estudiantes que han trabajado con la integral de funciones compuestas con sólo para funciones polinómicas, no son capaces de ver la misma regla de integración en las funciones trascendentes. En otras palabras, la habilidad de identificación, clasificación y determinación de las acciones esenciales no tienen el desarrollo adecuado que le permita al estudiante una generalización teórica completa. Por lo que es necesario insistir en que el estudiante tiene que ser entrenado en la generalización teórica, para que pueda desarrollar el pensamiento teórico científico, o dicho en otras palabras pueda trabajar a nivel conceptual.
Cuando sucede lo planteado en los ejemplos anteriores se debe a que el alumno trabaja a nivel formal, esto es, considera los símbolos independientes del objeto que representan, por lo tanto, por una parte al apreciar símbolos distintos, considera a los problemas como diferentes, sin detenerse a analizar que dichos símbolos representan funciones con las mismas características respecto a la integración y por otra, al apreciar el mismo tipo de símbolo no es capaz de identificar las diferentes situaciones que puede representar.
Concretando lo planteado hasta aquí, tenemos que es necesario, para que el estudiante pueda desarrollar su actividad cognoscitiva de forma independiente, que desarrolle su pensamiento teórico, en lo cual juega un papel muy importante la capacidad de generalización del estudiante.
Todo el análisis anterior nos muestra la necesidad de hacer un estudio de las características fundamentales de la generalización. En primer lugar, como ya vimos, la generalización que tenemos que desarrollar es la generalización teórica, aquella que se realiza sobre los rasgos esenciales y los nexos internos de los objetos y fenómenos de la realidad. Así los niños que han generalizado el concepto de mamífero, sólo por las apariencias externas de muchos de ellos, no pueden identificar los delfines como tales; este tipo de generalización basado en las características aparentes de las cosas, es la primera que el niño realiza, y que llega a hacer por sí mismo, en su interacción social; pero la generalización teórica generalmente tiene que ser enseñada, y siempre tiene que ser desarrollada, para posibilitar así el desarrollo del pensamiento teórico científico. Luego en lo adelante, siempre que hablemos de generalización, nos estaremos refiriendo a la generalización teórica.
Ranford L. (2003) comprueba en sus trabajos las diferentes instancias en que se manifiesta la generalización, pues en los mismos ha podido apreciar que "la tarea de generalizar se hace mas complicada cuando se les pide a los estudiantes relacionar variables y expresar esta relación en un lenguaje algebraico" Esta tarea se hace más complicada para los estudiantes porque las propias variables y el lenguaje algebraico son en sí mismos generalizaciones, por lo tanto cuando se generaliza a través de estos elementos se hace una generalización de mayor nivel.
Por otra parte Tall D. (1990), realiza una clasificación de la generalización en la manera siguiente:
o Generalización expansiva.
o Generalización reconstructiva.
o Generalización disyuntiva.
Entendiendo por generalización expansiva aquella en la que el sujeto expande el rango de aplicabilidad de un esquema existente sin reconstruir dicho esquema. Considera la generalización reconstructiva cuando el sujeto reconstruye un esquema existente con el fin de aplicar su rango de aplicabilidad. Por último, considera que ocurre la generalización disyuntiva cuando al moverse de un contexto familiar a uno nuevo, el sujeto construye un nuevo esquema, para tratar con la nueva situación y lo incorpora en el pensamiento como un esquema nuevo.
La generalización que debe aspirar a desarrollar el profesor en sus estudiantes, de acuerdo a la clasificación de Tall, es la expansiva, ya que es el caso en que efectivamente se logra una generalización del esquema existente, pues se logra su aplicación sin necesidad de crear nuevos esquemas, lo cual permite una mayor aplicabilidad del conocimiento adquirido, sin necesidad de su fraccionamiento.
No obstante, de acuerdo con este autor, la generalización reconstructiva también resulta necesaria, pues en determinadas circunstancias el estudiante necesita reconstruir el esquema para que sea aplicable a la nueva situación, por ejemplo cuando los estudiantes generalizan la multiplicación de números enteros a los números fraccionarios, tienen que hacer una generalización reconstructiva, para incluir el caso en que la multiplicación puede tener como resultado un valor menor que uno de los factores, lo que no ocurre en el producto de números enteros; también se requiere una generalización reconstructiva cuando se estudia el cálculo diferencial, ya que todos los casos de derivadas responden al esquema: función incrementada menos la función sin incrementar dividido el incremento, cuando el incremento tiende a cero. Pero para incorporar el gradiente, este esquema tiene que ser reconstruido.
Desde nuestro punto de vista, consideramos que la generalización disyuntiva, no llega a ser una generalización propiamente dicha, ya que la construcción de un nuevo esquema indica que el sujeto no ha sido capaz de generalizar los esquemas de que disponía; el estudiante que sigue este procedimiento de aprendizaje incrementa el número de procedimientos que requiere para resolver los nuevos casos que se le van presentando, lo cual implica una carga adicional al estudiante que lo hace propenso a colapsarse.
Por ejemplo, el alumno que estudia los triángulos haciendo este tipo de generalización, incorpora cada tipo de triángulo, isósceles, rectángulo, etc. en un esquema independiente y por lo tanto adquiere un conocimiento inconexo, compuesto para él por muchos elementos variados, por lo cual se le hace difícil asimilarlo y además lo olvida con mucha facilidad.
Por nuestra parte consideramos válida la clasificación de Tall D., pero desde nuestro punto de vista, entendemos que la misma, está orientada más a la forma en que el estudiante generaliza, que a características intrínsecas del propio proceso de generalización.
Por otra parte en el trabajo de Royo J et all (2005), se considera la generalización como habilidad del pensamiento lógico, en este trabajo la generalización se categoriza como proceso del pensamiento lógico, dada su complejidad, pero desde la perspectiva de que el alumno pueda hacer generalizaciones teóricas con eficiencia, estamos de acuerdo en categorizarla como habilidad. En síntesis podemos decir que es una habilidad que por su complejidad se forma y desarrolla como un proceso, cuya complejidad se pone de manifiesto en el propio trabajo citado, ya que en la pag. 393, se plantea que la generalización es verificable por:
o Extender los conceptos estudiados en una clase determinada a otra más amplia.
o Distinguir entre dos generalizaciones cual de ellas es la mejor.
o Establecer relaciones entre dos generalizaciones de un mismo concepto.
Señalamos que evidentemente el primer punto es una de las formas en que la generalización se puede efectuar, en lo que respecta al segundo punto entendemos que una generalización es correcta o no y sólo puede haber variantes de una generalización en las que se destaquen elementos diferentes de lo que se generaliza, por último en el tercer punto, el hecho de que el alumno relacione diferentes variantes de una generalización, es una acción, que aunque puede ser útil en el proceso de formación del estudiante, no llega a ser una generalización. Aquí las imprecisiones señaladas muestran la complejidad del proceso estudiado.
Nuevos resultados sobre la generalización:
La importancia de la generalización teórica como proceso del pensamiento y la necesidad de entrenar a los estudiantes en la misma, ha determinado que el grupo de investigación dirigido por el autor del presente trabajo, haya realizado diferentes estudios sobre el tema, de los cuales se ha podido constatar que la generalización teórica, como proceso complejo en sí mismo, se realiza a diferentes niveles. Dichos estudios han permitido identificar cinco niveles, entre los cuales como componentes de un mismo proceso existe interdependencia y sólo se ha establecido secuenciación entre el primero y el último de estos niveles.
Los niveles identificados permiten dirigir la actividad del estudiante de una manera más precisa, ya que facilita identificar debilidades cognoscitivas en el estudiante, y orientarle trabajos según se requiera.
A continuación detallaremos la generalización en sus diferentes niveles, aunque como ya planteamos, estos niveles, como componentes de un mismo proceso, están estrechamente interrelacionados y lograr desarrollo en uno de los niveles implica lograr desarrollo en los restantes, aunque el entrenamiento en cada uno de los niveles tiene su especificidad, la cual se apoya en los rasgos distintivos que se manifiestan en cada uno de los niveles.
El primero de estos niveles o etapas de la generalización lo identificamos como: "La representación singular de lo general" esto se refiere a cuando representamos los componentes de un conjunto de muchos o infinitos elementos mediante una determinada semiótica, por ejemplo, cuando hablamos de los números pares y decimos que un número par es un número de la forma 2n, o cuando representamos una sucesión por su n-simo término, o cuando hablamos de una cantidad finita pero no determinada de elementos o sucesos y los representamos como los hechos ai con i = 1 .. n, otro ejemplo al respecto es el siguiente: la expresión: , , representa múltiples casos particulares, así tenemos otro ejemplo en la palabra "paraboloide" la cual representa toda una infinidad de figuras geométricas que tienen determinados rasgos esenciales que la identifican como tal, y a la vez representa cada uno de los casos particulares en que puede aparecer dicha figura geométrica.
Esta forma de generalización tan cotidiana para el matemático y tan imprescindible para la Matemática en sí misma, (aunque debemos destacar que no es privativa de la Matemática, pues con el desarrollo científico técnico cosas así aparecen hasta en las ciencias sociales), no es tan inmediata para el alumno, requiere cierto desarrollo de sus capacidades cognoscitivas para interiorizarlo, y no simplemente repetirlo mecánicamente cuando se le requiera.
Podemos asegurar que el estudiante ha alcanzado este nivel de generalización cuando él es capaz de usarla por su propia iniciativa, para expresar sus ideas, cuando lo usa como componente de su propio lenguaje. Sin embargo, no es una tarea pedagógica simple que el estudiante incorpore esta forma de generalización como una forma propia de expresión, pero a la vez es clave en el pensamiento matemático.
Este nivel de generalización está muy cercano a la generalización empírica, que el niño desarrolla en su interacción social, cuando a través de su experiencia con un número determinado de mesas, logra generalizar todos estos objetos comunes con la palabra "mesa"; el lenguaje se va formando así a nivel de generalizaciones empíricas. ¿Por qué entonces se hace difícil el salto a la generalización matemática en este primer nivel?
De acuerdo a los estudios realizados, la dificultad en el salto de la generalización empírica, productora del lenguaje, a la generalización teórica en su primer nivel, se debe a que la primera se realiza a nivel objetal, donde el objeto se identifica como un todo y no requiere hacer distinciones entre aspectos esenciales y no esenciales del objeto lo cual implica un nivel de abstracción muy bajo, por otra parte la segunda se realiza a nivel conceptual o teórico y requiere la identificación de los componentes esenciales sobre los que se generaliza, abstrayéndolos de sus componentes aparentes o no esenciales, lo que trae por consecuencia un nivel de pensamiento más elevado, por ejemplo para que la palabra "parábola" represente todas las parábolas, tiene que estar asociada, no a la forma de la curva, ya que en particular el coseno hiperbólico tiene una representación gráfica del mismo tipo que la parábola, sino a su ecuación, o a su caracterización como lugar geométrico; como se aprecia en este caso, si la atención se enfoca a lo aparente y no esencial del objeto como es la forma del gráfico, la palabra "parábola" no es una generalización singular de lo general, pues puede incluir elementos que no corresponden al objeto generalizado.
En un segundo nivel podemos considerar la generalización producto de una deducción (propia de las ciencias deductivas), por ejemplo si se prueba que todo número tal que la suma de sus dígitos es divisible por tres, es también divisible por tres él mismo; se tiene así un resultado que sirve de criterio general para determinar si un número dado es o no divisible por tres; o como es el caso de la fórmula . Aparentemente el alumno hace esta generalización de forma natural, pero lo que sucede comúnmente es que el alumno usa el resultado deducido en forma general porque el profesor le dice que se ha obtenido una regla que se va a aplicar siempre para determinar tal o cual cosa, pero no hace suyo el resultado obtenido si sus capacidades cognoscitivas no han alcanzado el nivel requerido; esto se aprecia cuando se deducen las ecuaciones de las cónicas, partiendo de su definición como lugar geométrico y el estudiante prácticamente no establece un nexo: ecuación – lugar geométrico. Nexo que debía manifestarse si para el alumno la ecuación fuera efectivamente una generalización obtenida como deducción del concepto de lugar geométrico.
Aquí influye el nivel anterior, pues precisamente en la deducción casi siempre es necesario representar lo general en forma singular. No es fácil determinar cuando el alumno ha interiorizado el carácter general de la deducción, ya que el mismo puede usar el resultado alcanzado por iniciativa propia o porque así se lo dice su profesor, aquí se requiere de cierta maestría pedagógica para determinar en que nivel está realmente el alumno.
Además se debe tener en cuenta el valor formativo de este nivel de generalización en lo que respecta al conocimiento matemático, ya que el estudiante tiende a hacer generalizaciones empíricas, cuando la generalización teórica se logra mediante una deducción, como ejemplo podemos analizar la siguiente situación: "La derivada de una función par derivable, es una función impar" El estudiante sin una adecuada formación matemática hace esta generalización a partir de casos particulares como son las funciones: f(x) = x2, f(x) = x4, f(x) = cos(x), f(x) = 1/x2, las cuales son pares y tienen derivadas impares, pero esta generalización a partir de casos particulares tiene un carácter empírico carente de valor en la Matemática, para que esta generalización tenga el rango de generalización teórica y sea válida matemáticamente, tiene que ser producto de una deducción como la que sigue:
Si f(x) es una función par, entonces f(x) = f(-x)
Derivando en ambos miembros:
Obteniéndose: Luego es una función impar.
Siendo esta deducción la que nos permite generalizar el hecho de que la derivada de una función par es a su vez una función impar.
M. M. Rodd, en su trabajo: "On Mathematical Warratns: Proofs Doe Not Always Warrant, and Warrant May Be Other Than a Proof" destaca ampliamente la disposición de los estudiantes a generalizar de una manera empírica, en lugar de hacerlo a través de deducciones matemáticas. M Rodd (2000).
Encontramos el tercer nivel cuando se produce la generalización por ampliación de un concepto, esto es cuando se pasa de un concepto a otro más general, pero que mantiene los rasgos esenciales del primero, un ejemplo lo tenemos cuando se extienden los principios de la mecánica de dos tiempos a la de cuatro tiempos, pues sobre los mismos principios esenciales se estudia el fenómeno de una forma más amplia; otro ejemplo se puede ver cuando se pasa de las derivadas de funciones de una variable a las de funciones de varias variables, o cuando se pasa de las integrales en una variable a las integrales en dos o tres variables, también cuando se pasa del estudio de las curvas cuádricas a las superficies cuádricas, o cuando se pasa de superficies cuádricas referidas al origen de coordenadas a superficies cuádricas referidas a cualquier punto del espacio, pues sobre los mismos principios esenciales se estudia el fenómeno de una forma más amplia (se generaliza). Este nivel se requiere para elaborar metodologías orientadas a que el alumno identifique la esencia del concepto en cada caso particular, logrando de esta manera una orientación sistémica en el objeto de estudio.
En Agostini E. et all (2004). Se considera la habilidad para generalizar un concepto, pero no es considerada como un nivel específico del proceso de generalización, por lo que no se caracteriza de una manera concreta y por lo tanto no se señalan actividades encaminadas al desarrollo de esta forma de generalización. Pero sí plantea la importancia de que el alumno posea esta habilidad, aunque en su estudio encontró que los alumnos no la poseen.
Ahora podemos hablar del cuarto nivel, en el que se está cuando la generalización se logra mediante un cambio del problema con que se trabaja, aunque manteniéndose en el mismo modelo. Se alcanza este nivel cuando se identifican y resuelven diferentes problemas que obedecen a un mismo modelo, en otras palabras, se resuelven diferentes tipos de problemas, pero que obedecen a un mismo modelo.
Este cambio del problema puede ser, inmediato, cuando las variaciones no son esenciales, como cuando se trabaja con una fórmula cuyos coeficientes se caracterizan por determinada forma, y se introduce una variación al problema que determina un cambio en la forma de los coeficientes de la fórmula a través de la cual se resuelve el problema. Aunque esta es una generalización que no requiere de mucho desarrollo de las capacidades cognoscitivas, sí es necesario ejercitarla con el fin de que el alumno esté en condiciones de trabajar en las siguientes etapas.
Tenemos también que el cambio del problema puede ser mediato, esto es, cuando las variaciones al problema aunque manteniéndose dentro del mismo modelo determinan cambios esenciales en el mismo, este cambio se manifiesta por ejemplo si los cambios llegan a tal punto que aparentemente se ha producido un cambio en el modelo del problema, y para identificar el modelo original se requiere de cambios de variables, o algunas transformaciones especiales que permitan identificar el modelo original; un ejemplo al respecto es la ecuación:
cos2(x) + 5cos(x) + 6 = 0,
donde el estudiante no se percata que puede usar el modelo de la ecuación de segundo grado para resolver el problema planteado. Otro ejemplo al respecto es el caso de la siguiente integral: , donde el cambio de variables u = x + 1, transforma el nuevo problema en uno conocido, o como es el caso cuando además de cambiar el elemento que se calcula se expresa el problema en otro sistema de coordenadas. Por lo tanto tenemos que ser cuidadosos de contemplar en nuestra actividad docente ambas situaciones, pues si empezamos por el segundo aspecto de este nivel, el estudiante lógicamente confrontará dificultades para realizar las tareas que le encomendemos y si nos quedamos en la primera etapa al estudiante le faltará preparación para enfrentar el quinto nivel de generalización, que trataremos a continuación y el cual debe alcanzar todo estudiante de ingeniería.
Después de todas las consideraciones anteriores podemos enfocar lo que consideramos el quinto nivel y más complejo de la generalización, que consiste en la generalización con desarrollo de un nuevo modelo. Según S.L. Rubinstein: "La generalización descubre las conexiones necesarias sujetas a la ley de los fenómenos y faculta explicar las diversas manifestaciones de sus relaciones internas." Rubinstein S.L. (1959).
Realmente es así, pero este proceso pasa a través de la modelación del fenómeno, de forma que este (el fenómeno) pueda ser desbrozado de sus atributos no esenciales, y se pongan de manifiesto aquellas relaciones internas fundamentales para su estudio. La capacidad de orientación hacia lo esencial del material, es uno de los elementos que determina la capacidad de aprendizaje según Z.I. Kalmikova; por lo cual debe ser desarrollada tanto como sea posible, y como planteamos está asociada a la capacidad de desarrollar nuevos modelos para estudiar nuevos fenómenos. Aunque es por todos conocido que la habilidad de modelar es difícil de desarrollar en los estudiantes, pero también se tiene consenso de que es una habilidad que debe alcanzar todo estudiante de ingeniería; aunque por su complejidad está claro que le resulta muy difícil al estudiante lograrla directamente, por lo que es necesario el desarrollo de los niveles precedentes de generalización planteados, para que el estudiante se encuentre en condiciones de arribar a esta meta.
Podemos decir que el estudiante está en este último nivel de generalización, cuando es capaz de obtener por sí mismo el nuevo modelo que le permite estudiar la nueva situación. Evidentemente este cambio de modelo tiene sus graduaciones propias, la nueva situación puede estar más o menos cerca de las situaciones y modelos conocidos por el estudiante, y este distanciamiento entre lo conocido y lo nuevo se logra vencer de forma efectiva si se desarrolla gradualmente la capacidad de generalización.
Sugerencias para la aplicación de los resultados:
La determinación de los niveles en que se manifiesta el proceso de generalización teórica, permite precisar la orientación de tareas al estudiante y de su propia actividad cognoscitiva, ya que hace posible el entrenamiento del estudiante mediante actividades con mayor grado de especificidad, las que están asociadas de manera particular a cada uno de los niveles, así tenemos que para contribuir al desarrollo del estudiante en el primer nivel se aconsejan tareas como las siguientes:
• Pedirle a los estudiantes que expresen todos los número divisibles simultáneamente por 12 y por 8, ya que la respuesta: 24n, es una representación singular de lo general como explicamos antes.
• Pedirle que representen los polinomios de grado n, cuya representación es: aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an. es una manifestación de este primer nivel de generalización.
• Pedirle que expresen la derivada n de f(x) = cos(x) en xo = 0, cuya respuesta f(0) = (-1)n/2 para n par, se logra también mediante una generalización de este nivel.
Lograr que los estudiantes realicen tareas de este tipo, contribuirá a que sean capaces de incorporar este nivel de generalización como medio de expresión propio de su lenguaje.
En lo que respecta a la generalización producto de una deducción, el entrenamiento del estudiante se hace más complejo en el sentido de que este trabaja siguiendo reglas y no porque haya interiorizado el significado de la deducción matemática, lo que acabamos de plantear se hace evidente en el poco interés que manifiestan los estudiantes, en todos los niveles escolares, por las demostraciones, donde sólo es posible hacer excepciones al respecto en los estudiantes de las carreras de Matemática. Pero el hecho de que el estudiante admita la necesidad de la deducción matemática, es equivalente a que comprenda la diferencia entre generalización empírica y generalización teórica, la diferencia entre afirmar que algo que sucede con frecuencia vuelva a suceder y la certeza de que ese algo va a suceder, lo cual es una de las razones que muestran la necesidad de formar el pensamiento teórico, particularmente en los profesionales de cualquier rama y de manera muy significativa en los profesionales de ciencias técnicas.
Como realmente es más importante formar el pensamiento teórico en el estudiante, que el hecho de que aprenda determinadas demostraciones, hace que sea más conveniente dedicar mayor tiempo a deducciones que por sus características contribuyen en mayor medida a la formación del pensamiento teórico que otras, que lo hacen en menor, o lo hacen muy poco; por ejemplo el teorema de Bolzano: "Si f(x) es un función continua en [a , b] y f(a)*f(b) < 0 entonces existe, al menos, un punto xo que pertenece a [a , b] tal que f(xo) = 0" (notar que f(x) y [a , b] son representaciones singulares de lo general, ya que dichos símbolos singulares representan cualquier función y cualquier intervalo). Como sabemos este teorema requiere ser demostrado, matemáticamente hablando, pero los estudiantes que no son de Matemática, al no tener una formación Topológica, no pueden ver la necesidad de deducir algo que para ellos resulta evidente, por lo tanto insistir en hacer esta demostración en una clase de una carrera no matemática, no logrará contribuir a la formación del estudiante, por lo tanto es preferible aceptar la aparente apariencia del resultado planteado y dedicar mayor tiempo a otras demostraciones mas útiles desde el punto de vista didáctico, pues coincidimos con Mariotti quien expresa que: "la intuición puede constituirse en obstáculo: cuando la inmediatez de un enunciado inhibe el proceso de análisis de las conexiones implícitas y por consiguiente la construcción de la estructura analítica que constituye una prueba.
En tal caso, deviene imposible comprender el sentido de la prueba pues la evidencia y la inmediatez (la sensación de certeza que caracteriza a los enunciados intuitivos) inhibe cualquier clase de argumentación; es decir, inhibe la elaboración de la estructura analítica, "paso a paso," que constituye una prueba; el proceso se bloquea y lo mismo ocurre con el camino hacia la prueba." Mariotti M. A. (1998), en otras palabras, queremos enfatizar que en el proceso de formación del estudiante hay que aprovechar los aspectos de la Matemática que se presten mejor a nuestros fines como son las demostraciones donde se deduce un resultado no aparente, como es el caso de la relación que existe entre la monotonía de la función y el signo de la derivada de dicha función, ya que es necesario lograr que los estudiantes aprecien la necesidad de la deducción para poder generalizar un resultado, independientemente de las veces que se haya podido comprobar su generalidad, se puede aprovechar aquí el hecho de que este resultado se puede apreciar muy fácil en muchos casos particulares sencillos, f(x) = x2, f(x) = ex, f(x) = x3, etc. no resulta evidente que para casos de funciones poco usuales o más complejas la situación sea la misma, por lo que resulta más natural para el alumno supeditar la generalización del resultado a su deducción.
Además sugerimos hacer una ilustración previa a la deducción de manera que se aproveche la interpretación geométrica de la derivada, con lo cual, se logra tanto materializar la deducción como consolidar el sentido geométrico de la derivada, pues cualquiera que se la curva, donde esta sea creciente, el ángulo de inclinación de su tangente estará entre 0 y π/2 y por lo tanto su tangente trigonométrica positiva, y análogamente cuando la curva decrece, como se ilustra en el siguiente gráfico:

Para muchos estudiantes esta ilustración funciona como la deducción propiamente dicha y no ven la necesidad de una deducción formal, pero desde el problema que nos ocupa, lo importante es que el alumno acepte la generalización como consecuencia de una deducción y no como la verificación de varios casos particulares.
Aquí debemos aclarar que por nuestra parte consideramos que lograr que el estudiante intuya el resultado, es un paso previo a la deducción del mismo, pues es necesario tener en cuenta que "inducción – deducción" se manifiestan como un par dialéctico en el desarrollo del conocimiento.
Resultados con estas características hay muchos en la Matemática, entre ellos podemos citar el teorema de Fermat, el teorema que relaciona la derivada de una función con la derivada de su inversa, el teorema de Rolle, etc.
Un ejemplo muy ilustrativo, al respecto, es el caso de las series , pues si hacemos notar que con el crecimiento de n, cada vez se agrega menos a la suma, es razonable asumir que llegará el momento que lo que se agrega es tan insignificante que la suma se mantiene fija y por lo tanto las series de este tipo son convergentes, lo cual, como sabemos, no es así, ya que estas series sólo convergen cuando p > 1. Esta situación nos permite ilustrar la inconsistencia de las generalizaciones empíricas, esto es basado en los aspectos aparentes del fenómeno que queremos generalizar.
Un ejemplo que vale la pena citar aquí es la suma de n números naturales, esto es:
El cual no es un resultado evidente pero que se puede comprobar reiteradamente, pero debemos formar la convicción en el estudiante que sólo la deducción de este resultado permite su generalización.
Esta deducción tiene una ilustración gráfica como la que se muestra en la figura, la cual en determinados niveles de enseñanza se puede aceptar como la deducción, pues como se sabe la inducción completa es un método deductivo que a los estudiantes les cuesta comprender como tal.

La generalización por ampliación de un concepto, es el nivel que se manifiesta con menos frecuencia, pero dadas sus características propias y el peso que tiene en la formación del estudiante para que llegue a aprender a aprender, se hace necesario aprovechar las oportunidades que se presenten en el desarrollo del proceso enseñanza aprendizaje para ejercitar este nivel de generalización.
Este nivel de generalización se manifiesta con estudiantes muy jóvenes cuando se trabaja con los campos numéricos, esto es, cuando se pasa de trabajar con los naturales a los enteros, a los fraccionarios, a los irracionales y por último a los reales, en todos los casos se debe procurar que los alumnos vean las operaciones en el nuevo campo numérico como generalización de las mismas operaciones que se venían haciendo; lo mismo se tiene cuando se pasa de las leyes de las potencias enteras a las fraccionarias, es importante que el estudiante no vea las leyes en las potencias fraccionarias como nuevas leyes respecto a las potencias enteras, sino como una ampliación de estas. Trabajar estos temas de esta forma también contribuye a que el estudiante aprenda a orientarse a lo esencial del contenido, lo cual es de gran importancia, tanto para los restantes niveles de generalización como para desarrollar el proceso de abstracción.
Un ejemplo de este nivel de generalización para estudiantes menos jóvenes es cuando se pasa de los vectores en R2 a los vectores en R3 y también cuando se pasa del límite en funciones de una variable al límite en funciones de dos variables
La importancia de ejercitar al alumno en la generalización por ampliación del concepto, está en estrecha relación con el presupuesto de que "la Matemática se aprende haciendo Matemática" ya que aunque este presupuesto es aceptado por la comunidad de profesores de Matemática, lo que se hace al respecto las más de las veces es poner a los estudiantes a hacer ejercicios o en el mejor de los casos a resolver problemas; pero este nivel de generalización permite poner al alumno en el lugar del matemático, esto es, en las diferentes ocasiones en que el contenido que se imparte implica esta generalización, se debe asignar al alumno como tarea que haga las consideraciones necesarias para pasar a la nueva situación más general.
Evidentemente en las primeras tareas de este tipo el estudiante sólo tendrá un éxito parcial, pues le resultará muy difícil poder prever todos los elementos necesarios. Además esta actividad está entre las que el futuro profesional tendrá que hacer para mantenerse a la par del desarrollo científico técnico, por lo que es menester que sea entrenado en la misma.
En el caso de la generalización por cambio del problema manteniéndose en el mismo modelo, debemos apoyarnos en el modelo en el que estamos trabajando para que el estudiante pueda lograr él mismo el cambio del problema, por ejemplo en los clásicos problemas de llenado y vaciado de tanques el modelo consiste en determinar porciones de llenado o vaciado en la unidad de tiempo, al identificar este modelo el estudiante puede resolver cualquier problema donde pueda aplicar dicho modelo, en otras palabras viéndolo de esta forma, el estudiante podrá enfrentar lo mismo el problema: "Dos llaves abiertas a la vez pueden llenar un estanque en 5 horas y una de ellas sola lo puede llenar en 8 horas. ¿En qué tiempo puede llenar el estanque la otra llave?" que el problema: "Pedro puede hacer un trabajo en 5 días y Juan en 8 días. ¿En cuántos días podrán hacer el trabajo los dos juntos?". Ya que si el estudiante identifica el modelo, esto es identificar un resultado en una unidad de tiempo, logra una generalización por cambio del problema.
Lo mismo podemos decir de los problemas que obedecen a la regla de tres, una vez que el estudiante aprende este modelo lo debe generalizar y ser capaz de resolver los problemas que obedecen a este modelo mediante una generalización por cambio del problema. En este caso se puede considerar la regla de tres inversa como una variación mediata del problema.
Un modelo más complejo, pero donde se da la misma situación es el caso de la derivada como modelo para los fenómenos de variación instantánea, esto es la variación instantánea de la carga eléctrica representa la intensidad de la corriente , de la misma forma la variación de la masa de una barra en un punto, es la densidad lineal de la barra en un punto al igual que la velocidad instantánea y la tangente a la curva en un punto. Si se logra que el estudiante generalice la derivada como el modelo que le permite estudiar los diferentes problemas que existen de variación instantánea, se evitará que el mismo tenga que aprender cada uno de los problemas de este tipo como problemas diferentes, independientes los unos de los otros.
Insistimos de nuevo que la generalización en cualquiera de sus niveles, depende de la identificación de características esenciales del fenómeno que se generaliza.
La modelación matemática es usualmente descrita como el proceso mediante el cual se concibe una situación o problema real mediante el lenguaje de la Matemática.
Al analizar procesos complejos en los cuales resulta difícil observar y esclarecer las relaciones causales y las leyes principales debido a la existencia de toda una serie de relaciones y dependencias complementarias, se hace necesario separar las relaciones principales de las secundarias. Así, un modelo es una representación simplificada del objeto o proceso que se analiza, teniendo presente que refleja sólo algunas características que son esenciales en el fenómeno en cuestión, desde el punto de vista del investigador, obviando las que desempeñan un papel secundario. Fuentes H. (2001). Esta separación de las características esenciales de las que no lo son y su representación matemática, es una actividad cognoscitiva compleja que necesita ser entrenada; Una vez establecido el modelo, su estudio permite identificar las relaciones causales y las leyes que rigen el fenómeno, estas leyes son en sí mismas generalizaciones de gran complejidad.
Para lograr estas generalizaciones a través de un modelo, se requiere de los niveles anteriores de generalización, el primer nivel es necesario en la representación del modelo, ya que en el modelo siempre existe una representación singular de lo general, el tercer y cuarto nivel en la identificación del modelo y el segundo en el estudio del modelo.
Lograr que el estudiante llegue a crear modelos realmente nuevos, no variaciones a modelos conocidos, es una tarea pedagógica compleja y se logra a través del entrenamiento del estudiante en los diferentes niveles de generalización. Pero para lograr que no sólo los alumnos más aventajados lleguen a modelar, se requiere que se trabaje con esta perspectiva en más de una asignatura, pues se aprende Matemática haciendo Matemática, y modelar es una de las actividades características de la Matemática, aunque es una habilidad muy necesaria para un profesional de las ciencias técnicas.
CONCLUSIONES:
Como vemos, está claro que no podemos esperar que el estudiante desarrolle su pensamiento teórico, como un resultado inherente a su actividad docente; es necesario prestar la atención que tal desarrollo merece, lo que implica diseñar conjuntos de actividades con la graduación requerida para que el estudiante pueda transitar por los diferentes niveles de generalización sin saltos, que provoquen su desconcierto y se sientan incapaces de poder solucionar la tarea asignada de una forma razonada; pues no resolvemos gran cosa si compulsamos al estudiante a mecanizar y memorizar procesos para aparentar que lo sabe.
El desglose de la generalización en sus diferentes niveles establece las bases necesarias, para llevar a cabo la tarea planteada en el párrafo anterior, con lo que podemos contribuir de forma efectiva al desarrollo y consolidación del pensamiento teórico del estudiante.
BIBLIOGRAFÍA:
1. Agostini E. et all. (2004). Enseñanza de la Matemática: Habilidades Lógicas Presentes en los Ingresantes al Nivel Superior. Universidad Nacional de Jujuy, Argentina. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 17.
2. Blanco R. (1999). La abstracción y el nexo símbolo objeto. Revista reforma siglo XXI. Universidad autónoma de Nuevo León. Monterrey México.
3. Comenio J. A. 1983. Didáctica magna. Edit. Pueblo y Educación. Cuba
4. Davidov V.V. 1981. Tipos de generalización en la enseñanza. Edit. Pueblo y Educ. Cuba.
5. Dörfler, W. (1991), Forms and means of generalization in Mathematics. In A.J. Bishop (ed.), Mathematical Knowledg: Its Growth Trough Teaching. Kluwer Academic Publishers Dordrecht, pp. 63-85.
6. Edwards D. L. 2003. The Nature Of Mathematics As Viewed From Cognitive Science. ST. Mary’s College of California. ledwards[arroba]stmarys-ca.edu
7. Fuentes H. (2001) Didáctica de la educación superior. Centro de Estudios: Manuel F. Grant. Universidad de Oriente. Cuba
8. Gargallo Lòpez B. 1995. Estrategias de aprendizajes. Estado de la cuestión. Propuesta para una intervención educativa. Rev. Teoría de la educación. Vol. 7 pag. 53 - 76.
9. Gil Pérez D.; de Guzmán O. M. 1993. Enseñanza de las ciencias y la Matemática. Edit. Popular S.A.
10. Gonzalez F. (2005) Algunas Cuestiones Básicas Acerca De La Enseñanza De Conceptos Matemáticos. Fundamentos en Humanidades. Universidad Nacional de San Luis. Año VI – Número I
11. Hershkowitz R. 2001. Acerca del Razonamiento en Geometría. PMME-UNISON.
12. Kramarski B., Mevarech Z. R., 2002. The Effects Of Metacognitive Instruction On Solving Mathematical Authentic Tasks. Educational Studies in Mathematics 49: 225–250, Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
13. Liu Paredes G. J. (2006) El uso de Materiales Educativos en la Formación del Pensamiento Matemático. Colegio Villa María – La Planicie. Lima Perú. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 19
14. Lobato J. Burns Ellis A. Muñoz R. 2003. How "Focusing Phenomena" in the Instructional Environment Support Individual Students’ Generalizations. Mathematical Thinking And Learning, 5(1), 1–36, Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
15. Mata Guevara L. (1993) Aprendizaje significativo com línea de investigación. Maracaibo Venezuela.
16. Mariotti M. A. (1998) La intuición y la prueba: Reflexiones sobre los aportes de Fischbein. International newsletter on the teaching and learning of mathematical Proof. Noviembre /Diciembre.
17. Morris A. K. 2002. Mathematical Reasoning: Adults’ Ability to Make the Inductive–Deductive Distinction. Cognition and Instruction, 20(1), 79–118 Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
18. Panizza M. (2006) Fenómenos Ligados A La Validación En Álgebra. Universidad de Buenos Aires. Argentina. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 19
19. Radford L. 2003. Gestures, Speech, and the Sprouting of Signs: A Semiotic-Cultural Approach to Students’ Types of Generalization. Mathematical Thinking And Learning, 5(1), 37–70, Lawrence Erlbaum Associates.
20. Rodd M. M. (2000). On Matehematical Warrants: Prof. Does Not Always Warrant, and a Warrant May Be Other Than a Prof. Mathematical Thinkimg And Learning. Lawrence Erlbaum Associates.
21. Royo J. et all (2005). Transferencia de Resultados: Taller con Docentes de Escuela Media. Universidad Nacional de Jujuy. Argentina. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18.
22. Rubinstein S.L. (1959). El pensamiento y los caminos de su investigación. Edit. Pueblos Unidos S. A. Uruguay.
23. Talizina N. F. 1988. Psicología de la enseñanza. Edit. Progreso.
24. Tall D. Harel G. (1990) The General, the Abstract, and the Generic in Advanced Mathematics. University of Warwick. Coventry. CV4 7AL, UK.
25. Tall D. Gray E. (2001) Abstraction as a Natural Process of Mental Compression. Mathematics Education Research Centre. University of Warwick, Coventry, CV4 7 AL, UK.
26. Torres M. 1994. Nuevas tendencias en la enseñanza de la ingeniería. Rev. Educ. Superior No. 3 pag. 85 - 86.
27. Urquijo García P. 1996. Pequeños creadores en Cuba. Edit. Ciencias sociales. Cuba.
Datos del autor:
El Dr. Ramón Blanco Sánchez es Investigador y Profesor Titular del dpto. de Matemática de la Universidad de Camaguey, Cuba.
Se graduó de Lic. En Matemática en 1972, en la Universidad Central de las Villas, Sta. Clara, Cuba, cuenta con más de 30 años de experiencia en la enseñanza de la Matemática, fundamentalmente en ciencias técnicas, aunque obviamente ha investigado el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática en las enseñanzas precedentes.
Ha trabajado como profesor invitado en universidades de México, Rep. Dominicana y en diferentes universidades cubanas.
En 1998 defendió su tesis doctoral titulada: Subsistema didáctico para la enseñanza de la Matemática en ciencias técnicas fundamentado en el proceso de asimilación y la teoría del conocimiento. Desde entonces ha continuado sus investigaciones en el estudio de las interacciones que se manifiestan entre el desarrollo de las posibilidades cognoscitivas de los estudiantes y el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática.

Autor:
Dr. Ramón Blanco Sánchez
ramon.blanco[arroba]reduc.edu.cu
ramblan2001[arroba]yahoo.com.mx
Prof. Titular.
Universidad de Camaguey.
Camaguey. Cuba.
Institución:
Universidad de Camaguey, Cuba.
4 de Junio de 2007